Stabilité structurelle du feuilletage de Jouanolou de degré 2 by Aurélien Alvarez & Bertrand Deroin ISBN 101007/S1024002400153X instant download

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1. Introduction et énoncé du théorème principalSoit Fd l’espace des feuilletages algébriques complexes de degré d sur le plan projectif complexe P2. Mieux comprendre la décomposition de la variété projective Fd suivant les propriétés dynamiques et topologiques des feuilletages algébriques reste un problème largement ouvert dès que d ≥ 2. Le présent travail se propose d’y apporter unecontribution nouvelle et, en un certain sens, inattendue.Dans un travail célèbre [16], présenté lors de l’ICM 1978 et qui repose en partiesur les articles de Hudaj-Verenov [15] et Mjuller [20], Il’yashenko démontre que presquetout (vis-à-vis de la mesure de Lebesgue) feuilletage de Fd qui contient une droite projective invariante est structurellement rigide, ergodique et minimal. Ce travail a inspiré denombreux auteurs, parmi lesquels Scherbakov [24], Cerveau [8], Ghys [12], Nakai [21],Camacho et de Figueiredo [6], ainsi que Loray et Rebelo [19]. Ces derniers montrentqu’il existe un ouvert non vide de Fd formé de feuilletages structurellement rigides, minimaux, et ergodiques, en s’affranchissant de l’hypothèse portant sur l’existence d’unedroite projective invariante.Le résultat que nous présentons ici s’oppose radicalement à tous ces travaux : nousexhibons une composante de stabilité non triviale dans F2, c’est-à-dire un ouvert formé defeuilletages tous topologiquement conjugués les uns aux autres ; de plus, nous montronsque les feuilletages appartenant à cette composante de stabilité n’ont aucune feuille denseet ne sont pas ergodiques. Plus précisément, on désigne par Jd le champ de vecteurs deJouanolou de degré d défini dans les coordonnées cartésiennes (x,y, z) de C3 par(1.1) Jd (x,y, z) = yd ∂∂x+ zd ∂∂y+ xd ∂∂z.Ce champ est homogène de degré d et définit donc un feuilletage Jd du plan projectifcomplexe. Jouanolou a montré dans [17] que Jd n’a pas de feuille algébrique invariantelorsque d ≥ 2 et qu’il en est ainsi pour un feuilletage générique de Fd .Théorème. — Le feuilletage J2 du plan projectif complexe P2 est structurellement stable. Deplus, son ensemble de Fatou est une fibration1 sur la quartique de Klein ayant une structure de fibré lisselocalement trivial en disques. En particulier, aucune feuille de J2 n’est dense dans P2.Dire que le feuilletage J2 est structurellement stable signifie qu’il existe un voisinage V de J2 dans F2 tel que tout feuilletage dans V est topologiquement conjugué à J2.Le lieu de stabilité dans F2 est par définition l’ensemble des feuilletages algébriques structurellement stables. Nous conjecturons que, modulo l’action de PGL3(C), l’applicationqui, à un feuilletage du domaine de stabilité de F2 associe le quotient de son domainede Fatou, est un revêtement de l’espace des modules des courbes algébriques lisses degenre 3.